Question

2．某社区为该社区的小朋友举办了一次套圈活动，有A、B两个定点套圈位置，A、B两个定点前方各有6个不同编号的卡牌．如图所示的茎叶图记录着每个卡牌的编号．
规定：套圈套上偶数为套中，在A点套中一次得2分，在B点套中一次得3分．
套圈活动规则：按先A后B再A的顺序套圈（假设每次均能套中），在A、B两定点套圈，每个编号被套中的可能性相同，且在A、B两点套中与否相互独立．
（1）若小孩甲套圈三次，求得分X的分布列和数学期望；
（2）若小孩乙与小孩甲在A、B两点套中的概率相同，两人按规则各套三次．求小孩甲胜小孩乙的概率．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设“在A、B两个定点套圈一次套中”为事件A，B，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{3}$．小孩甲套圈三次，得分X的可能值是0、2、3、4、5、7；利用相互独立事件的概率计算公式可得概率，进而得到分布列、数学期望；
（2）利用互斥事件概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）根据题意，设“在A、B两个定点套圈一次套中”为事件A，B，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{3}$．
小孩甲套圈三次，得分X的可能值是0、2、3、4、5、7；
当X=0时，P（X=0）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{12}$，
当X=2时，P（X=2）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×2=$\frac{4}{12}$，
当X=3时，P（X=3）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$，
当X=4时，P（X=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{12}$，
当X=5时，P（X=5）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{2}{12}$，
当X=7时，P（X=7）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
∴X的分布列为；

X	0	2	3	4	5	7
P（X）	$\frac{2}{12}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{1}{12}$

数学期望为EX=0×$\frac{2}{12}$+2×$\frac{4}{12}$+3×$\frac{1}{12}$+4×$\frac{2}{12}$+5×$\frac{2}{12}$+7×$\frac{1}{12}$=3；
（2）小孩甲胜小孩乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形．
这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P为：
P=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$×$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{6}×$$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}）$+$\frac{1}{6}$×$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}）$+$\frac{1}{12}$×$（1-\frac{1}{12}）$=$\frac{57}{144}$=$\frac{19}{48}$．
或P=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{12}×\frac{1}{12}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{12}×\frac{1}{12}）]$=$\frac{19}{48}$．

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．