Question

12．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{a}{2}$lnx，a∈R．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）的最小值为a，求a的值；
（3）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

Answer 1

分析 （1）求出a=-1的函数的解析式，求得导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，去掉绝对值，讨论单调区间，即可得到最小值，解方程即可得到a；
（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x₁∈（1，a）和x₂∈（a，a²），从而得出答案．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=|x+1|+$\frac{1}{2}$lnx，
由于x＞0，则f（x）=x+1+$\frac{1}{2}$lnx，
f′（x）=1+$\frac{1}{2x}$，
f（x）在x=1处的切线斜率为k=$\frac{3}{2}$，切点为（1，2），
即有f（x）在x=1处的切线方程为y-2=$\frac{3}{2}$（x-1），
即为3x-2y+1=0；
（2）由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f（x）=|x-a|-$\frac{a}{2}$lnx=x-a-$\frac{a}{2}$lnx，f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$＞0，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无最小值；
当a＞0时，f（x）=|x-a|-$\frac{a}{2}$lnx=$\left\{\begin{array}{l}{x-a-\frac{a}{2}lnx，x≥a}\\{a-x-\frac{a}{2}lnx，x＜a}\end{array}\right.$，
若x≥a，f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$=$\frac{2x-a}{2x}$＞0，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a，f′（x）=-1-$\frac{a}{2x}$＜0，此时函数f（x）单调递减，
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． 
即有x=a时，f（x）取得最小值，且为f（a）=a，即有-$\frac{a}{2}$lna=a，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（3）证明：由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须f（a）=-$\frac{a}{2}$lna＜0，解得a＞1，
由f（1）=a-1-$\frac{a}{2}$lna＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0，
设g（x）=x-1-lnx，x＞1
则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
综上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和最值的求法，同时考查分类讨论的思想方法和不等式的证明方法：单调性法，属于难题．