Question

8．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F
①四边形BFD′E一定是平行四边形
②四边形BFD′E有可能是正方形
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D
以上结论正确的为①③④（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析 根据面面平行和正方体的几何特征进行判断，利用一些特殊情况进行说明

解答 解：解：如图：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四点共面，
∴ED₁∥BF，同理可证，FD₁∥EB，故四边形BFD₁E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，这个与A₁D₁⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了空间信息能力和逻辑思维能力