Question

18．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E点在棱DD₁上．
（1）当E是DD₁的中点时，求异面直线AE与BD₁所成角的余弦；
（2）当二面角E-AC-B₁的平面角θ满足cosθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$时，求DE的长．

Answer 1

分析 以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
（1）当E点为DD₁中点时，通过数量积运算计算$\overrightarrow{AE}=（-1，0，\frac{1}{2}）$与$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，1）$的夹角的余弦值即可；
（2）取AC中点M，则∠B₁ME是二面角B₁-AC-E的平面角，通过求解$\frac{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{M{B}_{1}}||\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$即可．

解答 解：以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
设DE=t，则A（1，0，0），B（1，1，0），E（0，0，t），D（0，0，1）．
（1）当E点为DD₁中点时，$t=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，1）$，$|{\overrightarrow{AE}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$|{\overrightarrow{BD}}|=\sqrt{3}$，
所以$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
所以异面直线AE与BD₁所成角余弦为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（2）取AC中点M，由题意知EM⊥AC，B₁M⊥AC，
所以∠B₁ME是二面角B₁-AC-E的平面角，
因为$\overrightarrow{M{B_1}}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{ME}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，t）$，
$|{\overrightarrow{M{B_1}}}|=\sqrt{\frac{3}{2}}$，$|{\overrightarrow{ME}}|=\sqrt{\frac{1}{2}+{t^2}}$，
所以cosθ=$\frac{{-\frac{1}{2}+t}}{{\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{{1+2{t^2}}}{2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}$，
两边平方整理得6t²-8t+1=0，所以$t=\frac{{4±\sqrt{10}}}{6}$．
因为E在棱DD₁上，0≤t≤1，所以$t=\frac{{4-\sqrt{10}}}{6}$，
所以DE的长为$\frac{{4-\sqrt{10}}}{6}$．

点评 本题考查直线与直线夹角、二面角的大小的求法，解题时要认真审题，属于中档题．