Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）若关于x的不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．
（2）若关于x的不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1在（0，+∞）上恒成立，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．

点评 该题主要考查导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想．