Question

5．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC．过A、C、D三点的平面记为a，BB₁与a的交点为Q．则以下四个结论：①QC∥A₁D；②B₁Q=2QB；③直线A₁B与直线CD相交；④四棱柱被平面a分成的上下两部分体积相等．其中正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用平面的基本性质，找出A₁Q与AB两条直线的交点，利用已知条件的数据关系，即可进行判断．

解答 解：在底面ABCD中，∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，
延长DC与AB相交于P，则P∈DC，连结A₁P交BB₁于Q，故直线A₁Q与直线CD相交，③不正确
∵DC?平面α，
∴P∈α，
∵AD∥BC，∴QC∥A₁D，①正确；
∵AD=3BC，
∴BC：AD=PB：AP=1：3，
∵A₁A∥BQ
∴△A₁AP∽△BQP，
∴$\frac{BQ}{A{A}_{1}}=\frac{BP}{AP}=\frac{1}{3}$，
又AA₁=BB₁
∴B₁Q=2QB，②正确．
设BC=a，AA₁=h，AD，BCd的距离为b，则四棱柱的体积为$\frac{1}{2}×（a+3a）×b×h$=2abh，
${V}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+3a）×b×h$=$\frac{2}{3}$abh，故④不正确．
故选：B．

点评 本题考查空间两点距离的求法，平面的基本性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．