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    14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF⊥x轴，|PF|=$\frac{1}{2}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若P1P2是椭圆上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过F，P1，P2三点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，求圆E的方程．

    分析 （Ⅰ）设F（c，0），x=c代入椭圆方程，解得|PF|，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
    （Ⅱ）由椭圆的对称性，设P1（m，n），P2（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆方程．

    解答 解：（Ⅰ）设F（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得
    y2=b2（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$），解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
    由题意可得，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2-b2=c2，
    解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
    ∴椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
    （Ⅱ）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），
    点E在x轴上，设点E（t，0），
    则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，
    由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，
    设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，
    则|ME|2=（x-t）2+y2=$\frac{3}{4}$x2-2tx+t2+1，
    当x=m时，|ME|2最小，∴m=-$\frac{-2t}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4t}{3}$，①，
    又圆E过点F，所以（-$\sqrt{3}$-t）2=（m-t）2+n2，②，
    点P1在椭圆上，∴n2=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，③，
    由①②③解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
    又t=-$\sqrt{3}$时，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合题意，
    综上：圆心E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n2=$\frac{2}{3}$，
    即有圆E的方程为（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2+y2=$\frac{3}{4}$．

    点评 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式的运用，同时考查圆的方程的求法，注意运用对称性是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    （1）求a的值
    （2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值
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