Question

20．如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．
若存在，求$\frac{SE}{EC}$的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正四棱锥的定义，连接BD交AC于O，连接SO，这样即可分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设OB=1，根据已知条件即可求出图形上各点的坐标，从而可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=0$，这样即可得出结论；
（Ⅱ）首先说明$\overrightarrow{OS}$为平面DAC的法向量，设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$求出法向量$\overrightarrow{n}$，设二面角P-AC-D的大小为θ，从而根据cosθ=$cos＜\overrightarrow{OS}，\overrightarrow{n}＞$求出θ；
（Ⅲ）假设侧棱SC上存在点E，使得BE∥平面PAC，并可设E（$0，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}$），这时候$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{n}$，从而根据$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0$即可求出z₀，若$0≤{z}_{0}≤\sqrt{3}$便判断出存在满足条件的E点，否则不存在；存在点E时，根据两点间距离公式即可求出$\frac{SE}{EC}$．

解答 解：
（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O，连接SO；
∵四棱锥S-ABCD是正四棱锥，且底面是正方形；
∴OB，OC，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系；

设OB=1，由已知可得：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，0，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），P（$-\frac{3}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=（0，2，0）•（-1，0，-\sqrt{3}）=0$；
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{SD}$；
∴AC⊥SD；
（Ⅱ）SO⊥底面ABCD；
∴$\overrightarrow{OS}=（0，0，\sqrt{3}）$为平面DAC的一条法向量；
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{3}{4}x+y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\sqrt{3}x}\\{y=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{3}）$；
设二面角P-AC-D的大小为θ，则：
cosθ=$cos＜\overrightarrow{OS}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\sqrt{3}•\sqrt{3}}{2•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{6}$；
即二面角P-AC-D的大小为$\frac{π}{6}$；
（Ⅲ）假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，则：
$\overrightarrow{BE}$和平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$垂直；
E在棱SC上，∴设E（$0，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}$）；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=（-1，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}）•（1，0，\sqrt{3}）=-1+\sqrt{3}{z}_{0}=0$；
∴${z}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴存在点E（$0，\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）使BE∥平面PAC；
此时，$\frac{SE}{EC}=\frac{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{12}{9}}}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}}=2$．

点评 考查正四棱锥的定义，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量证明异面直线互相垂直，求二面角等问题的方法，以及两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念，平面法向量夹角和平面二面角大小的关系，向量夹角余弦的坐标公式，知道直线若和一平面平行，则这条直线的方向向量便和平面的法向量垂直．