Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁=B₁B=BA=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB₁，利用三线合一得到OB₁与AB垂直，再由AB与B₁D垂直，得到AB垂直于面B₁OD，进而得到AB与OD垂直，确定出OD与面ABB₁A₁垂直，由面ABC过OD，即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB，OD，OB₁两两垂直，以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}$的方向为x轴的方向，|$\overrightarrow{OB}$|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，表示出B₁，D，A，C，C₁的坐标，进而确定出$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$，设平面ACC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=0，取特值法即可确定出直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB₁，
∵B₁B=B₁A，∴OB₁⊥AB，
又AB⊥B₁D，OB₁与B₁D交于点B₁，
∴AB⊥平面B₁OD，
∵OD?平面B₁OD，∴AB⊥OD，
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
∴OD⊥BB₁，
∵AB与BB₁交于点B，
∴OD⊥平面ABB₁A₁，
又OD?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB，OD，OB₁两两垂直，
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}$的方向为x轴的方向，|$\overrightarrow{OB}$|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
由题设知B₁（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
设平面ACC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=0，
即x+y=0，-x+$\sqrt{3}$z=0，
可取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1），|cos{$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，$\overrightarrow{m}$}|＞$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
则直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 此题考查了直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，做出相应的辅助线是解本题第一问的关键．