Question

11．设α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求证：tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{cosα}{1+sinα}$．

Answer 1

分析 从左边入手，利用两角差的正切公式展开，然后配成二倍角公式的形式化简证明．

解答 证明：左边=$\frac{tan\frac{π}{4}-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{π}{4}tan\frac{α}{2}}=\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=$\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}=\frac{（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}{（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}-2sinα\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{cosα}{1+sinα}$=右边；
故原等式成立．

点评 本题考查了三角恒等式的证明；用到了两角差的正切公式，正弦、余弦的倍角公式；属于基础题．