Question

13．已知动圆M经过点G（0，-1），动圆M的圆心轨迹为椭圆E，且与圆Q：x²+（y-1）²=8内切，已知点S是椭圆E是一个动点，又点T（0，m）．求|ST|的最小值．

Answer 1

分析 根据题意，设圆M与圆Q的切点为N，分析可得：|MQ|+|MG|=|MN|=2$\sqrt{2}$，进而可以求出椭圆的方程并求出椭圆与y轴的交点坐标，对点T（0，m）的位置分情况讨论，结合椭圆的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，设圆M与圆Q的切点为N，则有|MN|=2$\sqrt{2}$，
分析可得：|MQ|+|MG|=|MN|=2$\sqrt{2}$，
则M的轨迹为焦点为（0，1）、（0，-1）的椭圆，且a=$\sqrt{2}$，c=1；
故椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，
该椭圆与y轴的交点坐标为（0，$\sqrt{2}$）、（0，-$\sqrt{2}$），
又点T（0，m），
分析可得：当m≥0时，点S的坐标为（0，$\sqrt{2}$），|ST|取得最小值，且最小值为|m-$\sqrt{2}$|，
当m＜0时，点S的坐标为（0，-$\sqrt{2}$），|ST|取得最小值，且最小值为|m+$\sqrt{2}$|．

点评 本题考查椭圆的性质，解题的关键是先求出椭圆的方程，并结合椭圆的性质分析；注意求|ST|的最小值需要分类讨论．