Question

4．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$（a是常数），F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若F（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1（a≠0）的图象与函数y=f（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；
（II）分类讨论，确定函数的单调性，利用F（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．

解答 解：（I）F（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，其定义域为（0，+∞），…（1分）
又F′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，…（2分）
∵a＜0，x∈（-a，+∞），F′（x）＞0，x∈（0，-a），F′（x）＜0…（3分）
故F（x）的增区间是（-a，+∞），减区间是（0，-a），…（4分）
（Ⅱ）由题可知，F′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1，则x+a≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，
[F（x）]_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）； …（5分）
②若a≤-e，则x+a≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，
[F（x）]_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$，（舍去）；…（6分）
③若-e＜a＜-1，1＜x＜-a，F′（x）＜0，函数在（1，-a）上为减函数，-a＜x＜e，F′（x）＞0，函数在（1，-a）上为增函数，
[F（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\sqrt{e}$，
综上所述，a=-$\sqrt{e}$．…（8分）
（Ⅲ）y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1=$\frac{1}{2}$x²+m-$\frac{1}{2}$的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即$\frac{1}{2}$x²+m-$\frac{1}{2}$=ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
则G'（x）=$\frac{-x（x+1）（x-1）}{{x}^{2}+1}$
当x变化时，G'（x），G（x）的变化情况如下表，

x	（-∞，-1）	（-1，0）	（0，1）	（1，+∞）
G′（x）	+	-	+	-
G（x）	↑	↓	↑	↓

由表格知，G（x）的极小值G（0）=-$\frac{1}{2}$，G（x）的极大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（$\frac{1}{2}$，ln2），y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点，
即当m∈（$\frac{1}{2}$，ln2）时，函数y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点．…（14分）

点评 本题要求学生会利用x的值讨论导函数的正负得到函数的单调区间以及会根据函数的增减性求出函数的最值，是一道难题．