Question

9．已知正项等比数列{b_n}（n∈N₊）中，公比q＞1，b₃+b₅=40，b₃b₅=256，a_n=log₂b_n+2．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过b₃+b₅=40，b₃b₅=256解得q=2，进而可得结论；
（2）通过对c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$分离分母，并项相加即可．

解答 （1）证明：由题可知设数列首项b₁＞0，
∵b₃+b₅=40，b₃b₅=256，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}+{b}_{1}{q}^{4}=40}\\{{b}_{1}{q}^{2}{b}_{1}{q}^{4}=256}\end{array}\right.$，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
又∵b₃+b₅=40，即${b}_{1}{q}^{2}+{b}_{1}{q}^{4}$=40，
∴b₁=$\frac{40}{{q}^{2}（1+{q}^{2}）}$=$\frac{40}{4×（1+4）}$=2，
∴b_n=2×2^（n-1）=2ⁿ，
∴a_n=log₂b_n+2=n+2，
∴数列{a_n}是以3为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：∵c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3n+9}$．

点评 本题考查数列的通项及求和问题，涉及到对数的运算等知识，利用并项相消法是解决本题的关键，属于中档题．