Question

17．在一次突击检查中，某质检部门对某超市A、B、C、D，共4个品牌的食用油进行了检测，其中A品牌抽检到2个不合格的批次，另外三个品牌均各抽检到1个批次．
（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．
（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：

品牌	A1	A2	B	C	D
得分	8	8	8.8	9.6	9.8

若检测的这5个批次食用油得分的平均值为a，从这5个批次中随机抽取2个，记这2个批次食用油中得分超过a的个数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）只需要计算从5个批次的食用油中任选3个批次，其中三个中没有A品牌的概率，根据对立事件的概率公式即可得答案；
（2）先计算平均值a，判断得分超过a的ξ的可能取值有0，1，2，然后进行计算各自的概率，从而容易得到答案．

解答 解：（1）记“抽取的3个批次的食用油中至少有一个是A品牌”的事件为A．
那么从5个批次的食用油中任选3个批次的不同选法共有${C}_{5}^{3}$=10种情况，
其中三个中没有A品牌的情况有${C}_{3}^{3}$=1种情况，
故所求概率为：P（A）=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$
（2）由表中数据可得：a=$\frac{8+8+8.8+9.6+9.8}{5}$=8.84，这5个批次的食用油中，
得分超过a的有2个，故ξ的可能取值有0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$
故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

ξ的数学期望为：Eξ=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$
故答案为：（1）$\frac{9}{10}$
（2）分布列如上表，期望为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了概率的计算、对立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望的知识，属于中档题．