Question

5．已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 根据二面角的定义先作出二面角的平面角，结合余弦定理即可得到结论．

解答 解：取CD的中点O，连接AO，BO，
∵四边形ABCD的四条边和对角线都相等，
∴AO⊥CD，BO⊥CD，
即CD⊥平面ABO，
即∠AOB是平面ACD和平面BCD所成二面角的平面角，
设四边形的边长为2，
则OC=1，即B0=A0=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cos∠AOB=$\frac{A{O}^{2}+B{O}^{2}-A{B}^{2}}{2AO•BO}$=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}•\sqrt{3}}=\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
即∠AOB=arccos$\frac{1}{3}$，
即二面角的大小为arccos$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义先作出二面角的平面角是解决本题的关键．