Question

16．已知函数f（x）=1-x+lnx．
（1）求函数在点x=2处的切线方程；
（2）对任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立；
（3）证明：当n∈N₊时，不等式（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$成立．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，从而求函数在点x=2处的切线方程；
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，从而化恒成立问题为最值问题；
（3）由（2）知，1-x+lnx≤0恒成立，从而可得对任意实数x均有1+x≤e^x，从而可得（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤e^-k，从而可得（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1；而e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1=$\frac{1-{e}^{-n}}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{e}{e-1}$；从而证明．

解答 解：（1）∵f（x）=1-x+lnx，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
故f（2）=1-2+ln2=ln2-1，f′（2）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
故函数在点x=2处的切线方程为y-ln2+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即x+2y-2ln2=0；
（2）证明：由（1）知，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故f（x）≤f（1）=1-1+0=0；
故对任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立；
（3）证明：由（2）知，1-x+lnx≤0恒成立；
即对任意实数x均有1+x≤e^x，
令 n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1，
则0＜1-$\frac{k}{n}$≤${e}^{-\frac{k}{n}}$；
∴（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤e^-k，
∴（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1；
而e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+1=$\frac{1-{e}^{-n}}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{e}{e-1}$；
故（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．