Question

1．已知函数f（x）=alnx-ax+1（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，则f′（2）=1，即a=-2；由g（x）在x=1处有极值，故g′（1）=0，从而可得n=-1-2m，讨论m的范围得出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
则f′（2）=1，即a=-2；                     
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²+nx+m（2-$\frac{2}{x}$），
∴g′（x）=x+n+$\frac{2m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}+n{x}^{2}+2m}{{x}^{2}}$，
∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=-1-2m，
则g′（x）=$\frac{{x}^{3}+n{x}^{2}+2m}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（{x}^{2}-2mx-2m）}{{x}^{2}}$，
又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由-2m＜0，
即?x₀∈（0，+∞），
使得x₀²-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0．
即有m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，解不等式，求参数的范围，是一道综合题，属于中档题．