Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直线l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1被椭圆C截得的弦长为2$\sqrt{2}$，且e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆C的右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l₂被椭圆C截得弦长AB，
（1）求椭圆的方程；
（2）弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由直线l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为-b，可得直线l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1被椭圆C截得的弦长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2\sqrt{2}$，结合已知椭圆的离心率及隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）由题意方程求出右焦点坐标，得到直线l₂的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后利用弦长公式求得
弦AB的长度．

解答 解：（1）由直线l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1被椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
得a²+b²=8，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，且a²=b²+c²，截得：a²=6，b²=2．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由$a=\sqrt{6}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得c=2．
∴椭圆C的右焦点为（2，0），
则直线l₂的方程为y-0=$\sqrt{3}（x-2）$，即$y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：5x²-18x+15=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=3$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$2\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}-4×3}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了利用弦长公式求弦长，属中档题．