Question

5．已知函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{4}）+cos（ωx+\frac{5π}{12}）（ω＞0）$的最小正周期为4π．
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）设${x_1}，{x_2}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，求|f（x₁）-f（x₂）|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两角和的正弦、余弦公式化简f（x），再由周期公式，计算即可得到所求值；
（Ⅱ）求出f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{12}$）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值，运用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{4}）+cos（ωx+\frac{5π}{12}）（ω＞0）$
=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+cos[（ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]
=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）=sin（ωx+$\frac{7π}{12}$），
由于f（x）的最小正周期为4π，
即有$\frac{2π}{ω}$=4π，解得ω=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{12}$），
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，$\frac{1}{2}x$+$\frac{7π}{12}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
则有当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值，且为sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$；
当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值，且为sin$\frac{π}{2}$=1．
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查两角和差的正弦、余弦公式的运用，同时考查周期公式和正弦函数的图象和性质，属于中档题．