Question

16．在四棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1）求证：平面PEF⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，通过四边形ABCD是菱形、∠DAB=60°且E是AB中点，可得AB⊥DE，通过PD⊥面ABCD可得AB⊥PD，利用线面、面面垂直的判定定理即得结论；
（2）连接EF，则∠PEF为二面角P-AB-F的平面角，在△PEF中利用余弦定理计算即可．

解答 （1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∵E是AB中点，∴AB⊥DE，
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED，
∵AB?面PAB，∴面PEF⊥面PAB；
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．连接EF，
∵EF?面PED，∴AB⊥EF，
∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角，
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=$\sqrt{3}$，
∴在△PEF中，PE=$\sqrt{7}$，EF=2，PF=1，
∴cos∠PEF=$\frac{（\sqrt{7}）^{2}+{2}^{2}-1}{2×2\sqrt{7}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查空间中线面的位置关系，考查余弦定理，注意解题方法的积累，属于中档题．