Question

4．${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$-x）dx等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{π-1}{4}$
• D． $\frac{π-2}{4}$

Answer 1

分析 原积分化为=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx-${∫}_{0}^{1}$xdx，其中${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．

解答 解：${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\int_{\;0}^{\;1}{（\sqrt{1-{x^2}}}-x）\;dx$=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx-${∫}_{0}^{1}$xdx=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{π-2}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了定积分的几何意义和定积分的计算，属于基础题．