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    9．若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：
    ①有且只有两条直线l使得曲线C1：x2+y2=4和曲线C2：x2+y2-4x+2y+4=0为“相关曲线”；
    ②曲线C1：y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+1}$和曲线C2：y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}-1}$是“相关曲线”；
    ③当b＞a＞0时，曲线C1：y2=4ax和曲线C2：（x-b）2+y2=a2一定不是“相关曲线”；
    ④必存在正数a使得曲线C1：y=alnx和曲线C2：y=x2-x为“相关曲线”．
    其中正确命题的个数为（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    分析 ①：两条曲线都是圆，只需研究两圆的位置关系即可；
    ②容易判断，两条曲线是共轭双曲线（在x轴上方的部分），易知没有公切线；
    ③易知圆在抛物线的“内部”，所以不可能存在公切线；
    ④先利用导数求出C1的切线，然后代入曲线C2，利用判别式等于零求解．

    解答 解：①易知；C1：是以（0，0）为圆心，r=2的圆；C2：是以（2，-1）为圆心，r=1的圆，圆心距=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，大于半径之差1，小于半径之和3，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确；
    ②易知，曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），因此两曲线没有公切线，故②错误；
    ③因为b＞a＞0，所以在同一坐标系内做出它们的图象如下：

    所以两曲线不会有公切线，故③正确；
    ④当a=1时，C1：y=lnx，易求得x=1时，切线方程为y=x-1；对于C2：当x=1时，切线方程2为y=x-1，故④正确．
    所以有三个命题正确．
    故选：C．

    点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、切线方程的求法，同时，作为新定义问题，要注意对“概念”的理解．

    练习册系列答案
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    A．3x-2y-13=0B．3x-2y-13=0或x-2y-3=0
    C．x-2y-3=0D．x-2y-3=0或2x+3y-13=0

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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=$\frac{3}{4}{k_2}$，证明：A，P，Q三点共线．

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    A．$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{e}$）B．$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{e}$）C．$\frac{1}{e}$D．1-$\frac{1}{e}$

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    4．${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$-x）dx等于（　　）
    A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{π-1}{4}$D．$\frac{π-2}{4}$

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    （Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
    （Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．

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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
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