Question

19．已知φ（x）=x（x-m）²在x=1处取得极小值，且函数f（x），g（x）满足f（5）=2，f′（5）=3m，g（5）=4，g′（5）=m，则函数F（x）=$\frac{f（x）+2}{g（x）}$的图象在x=5处的切线方程为（　　）

• A． 3x-2y-13=0
• B． 3x-2y-13=0或x-2y-3=0
• C． x-2y-3=0
• D． x-2y-3=0或2x+3y-13=0

Answer 1

分析 求导φ′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=（3x-m）（x-m），从而可得m=1，代入可得F（5）=$\frac{f（5）+2}{g（5）}$=1，F′（5）=$\frac{f′（5）g（5）-（f（5）+2）g′（5）}{{g}^{2}（5）}$=$\frac{3×4-（2+2）×1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；从而求切线方程即可．

解答 解：∵φ′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=（3x-m）（x-m），
又∵φ（x）=x（x-m）²在x=1处取得极小值，
∴m=1，（m=3时x=1处取得极大值）；
故f′（5）=3，g′（5）=1，
故F（5）=$\frac{f（5）+2}{g（5）}$=1，
F′（5）=$\frac{f′（5）g（5）-（f（5）+2）g′（5）}{{g}^{2}（5）}$
=$\frac{3×4-（2+2）×1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
故函数F（x）=$\frac{f（x）+2}{g（x）}$的图象在x=5处的切线方程为
y-1=$\frac{1}{2}$（x-5），
即x-2y-3=0；
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．