Question

11．已知函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx
（Ⅰ）当a≤-2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意化简函数解析式，根据求导公式分别求出f′（x），分别判断出f′（x）与0的关系，利用导数的正负求出函数h（x）的单调区间、极值点；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），再化简不等式f（x）＞0为$|x+a|＞\frac{lnx}{2x}$，对x与1的关系进行分类讨论，当x＞1时转化为“a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$恒成立或$a＞-x+\frac{lnx}{2x}$恒成立”，再分别构造函数，求出导数、函数的单调区间和值域，即可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 当a≤-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x≥-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①当x≥-a时，$f′（x）=2x+a-\frac{1}{2x}=\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$＞0，
所以f（x）在（-a，+∞）上单调递增，无极值点…（2分）
②当0＜x＜-a时，$f′（x）=2x-a-\frac{1}{2x}=\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$．
令f′（x）=0得，-4x²-2ax-1=0，△=4a²-16＞0，
则${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，${x}_{2}=\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，且0＜x₁＜x₂＜-a，
当x∈（0，x₁）时，f′（x）＜0；当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0；
当x∈（x₂，a）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，x₁）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增；在（x₂，a）上单调递减．
综上所述，当a＜-2时，f（x）的极小值点为$x=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$和x=-a，极大值点为$x=\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$；…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），由f（x）＞0可得$|x+a|＞\frac{lnx}{2x}$…（*）
（ⅰ）当x∈（0，1）时，$\frac{lnx}{2x}＜0$，|x+a|≥0，不等式（*）恒成立；…（7分）
（ⅱ）当x=1时，$\frac{lnx}{2x}=0$，即|1+a|＞0，所以a≠1；…（8分）
（ⅲ）当x＞1时，不等式（*）恒成立等价于a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$恒成立或$a＞-x+\frac{lnx}{2x}$恒成立．
令$g（x）=-x-\frac{lnx}{2x}$，则$g′（x）=-1-\frac{\frac{1}{x}•2x-2lnx}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}-1+lnx}{2{x}^{2}}$．
令k（x）=-2x²-1+lnx，则$k′（x）=-2x+\frac{1}{x}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，
而k（1）=-1-1+ln1=-2＜0，所以k（x）=-2x²-1+lnx＜0，即$g′（x）=\frac{-{2x}^{2}-1+lnx}{2{x}^{2}}＜0$，
因此$g（x）=-x-\frac{lnx}{2x}$在（1，+∞）上是减函数，所以g（x）在（1，+∞）上无最小值，所以a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$不可能恒成立．…（10分）
令h（x）=$-x+\frac{lnx}{2x}$，则$h′（x）=-1+\frac{\frac{1}{x}•2x-2lnx}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}+1-lnx}{2{x}^{2}}$＜0，因此h（x）在（1，+∞）上是减函数，
所以h（x）＜h（1）=-1，所以a≥-1．又因为a≠-1，所以a＞-1．
综上所述，满足条件的a的取值范围是（-1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值等，恒成立问题的转化，以及转化思想、分类讨论思想、构造函数法等，考查化简、灵活变形能力，综合性强、难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点、难点．