Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{x+1}，-1＜x≤0}\\{x，0＜x≤1}\end{array}\right.$与函数g（x）=a（x+1）在（-1，1]上有2个交点，若方程x-$\frac{1}{x}$=5a的解为正整数，则满足条件的实数a有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 作图可得a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$=5a可得x²-5ax-1=0，设h（x）=x²-5ax-1，逐个验证可得．

解答 解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的图象，
结合图象可知实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]，
由x-$\frac{1}{x}$=5a可得x²-5ax-1=0，设h（x）=x²-5ax-1，
当x=1时，由h（1）=1-5a-1=0可得a=0，不满足题意；
当x=2时，由h（2）=4-5a-1=0可得a=$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{2}$，满足题意；
当x=3时，由h（3）=9-5a-1=0可得a=$\frac{8}{15}$＞$\frac{1}{2}$，不满足题意；
又函数y=x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）单调递增，故满足题意的a只有1个，
故选：B．

点评 本题考查函数的零点，转化为函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．