Question

8．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）=$\frac{lnx}{x}$，f（e）=$\frac{1}{e}$则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）有极大值无极小值
• B． f（x）有极小值无极大值
• C． f（x）既有极大值又有极小值
• D． f（x）没有极值

Answer 1

分析 由题意可得xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c；再由f（e）=$\frac{1}{e}$可得c=$\frac{1}{2}$，从而可得f（x）=$\frac{1}{2}$•（（lnx）²+1）$\frac{1}{x}$；从而再求导判断即可．

解答 解：∵f（x）+xf′（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c；
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$（lne）²+c；
故c=$\frac{1}{2}$；
故f（x）=$\frac{1}{2}$•（（lnx）²+1）$\frac{1}{x}$；
f′（x）=$\frac{\frac{2lnx}{x}•2x-（（lnx）^{2}+1）•2}{4{x}^{2}}$
=$\frac{-2（lnx-1）^{2}}{4{x}^{2}}$≤0；
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
故f（x）没有极值；
故选D．

点评 本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．