Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{sin2x-2{{sin}^2}x}}{sinx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；
（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=$2\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$，可得f（x）的最大值；
（Ⅱ）由$2kπ+π≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+2π$和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．
∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，
∵$f（x）=\frac{{sin2x-2{{sin}^2}x}}{sinx}$=2cosx-2sinx=$2\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最大值为$2\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）
由$2kπ+π≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+2π$，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），
∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为$[\frac{3π}{4}，π）$

点评 本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．