Question

18．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，则向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为30°．

Answer 1

分析 将已知等式平方展开得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，则由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，可得四边形OACB为矩形，∠BOC为向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角，数形结合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即为所求

解答 解：因为非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4|$\overrightarrow{a}$|²，化简得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，
令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，则由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，可得四边形OACB为矩形，∠BOC为向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角．
令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=30°；
故答案为：30°．

点评 本题考查向量的数量积、模、夹角的运算．本题的关键是将已知转化，得出两个向量的关系，属于中档题