Question

8．已知函数f（x）=ax²（a＞0），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函数$φ（x）=\frac{g（x）}{f（x）}\;（x≠0）$的单调区间和极值；
（Ⅱ）若f（x），g（x）的图象存在公共切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简$φ（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}}}\;（x≠0）$，从而求导$φ'（x）=\frac{{\;{e^x}（x-2）x}}{{a\;{x^4}}}\;（a＞0，\;x≠0）$，从而由导数判断单调区间及极值；
（Ⅱ）设f（x），g（x）的公切线l的斜率为k，且切点分别是$P（{x_1}，\;a{x_1}^2）$，$Q（{x_2}，\;\;{e^{x_2}}）$；从而易知k存在，从而可得k=2ax₁=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；化简可得${e^{x_2}}=4a{x_2}-4a$，故x₂是方程e^x-4ax+4a=0的解；再令h（x）=e^x-4ax+4a，从而求导h′（x）=e^x-4a，从而可判断h（x）在（-∞，ln（4a）]上单调递减，在[ln（4a），+∞）上单调递增；且h（1）=e＞0；从而可得$h{（x）_{min}}=h[ln（4a）]={e^{ln（4a）}}-4aln（4a）+4a≤0$，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）∵$φ（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}}}\;（x≠0）$，
∴$φ'（x）=\frac{{\;{e^x}（x-2）x}}{{a\;{x^4}}}\;（a＞0，\;x≠0）$，
∴φ（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
$φ{（x）_{极小值}}=φ（2）=\frac{e^2}{4a}$；
（Ⅱ）设f（x），g（x）的公切线l的斜率为k，
l与f（x），g（x）图象的切点分别是$P（{x_1}，\;a{x_1}^2）$，$Q（{x_2}，\;\;{e^{x_2}}）$；
若k不存在，则l不是f（x）图象的切线，所以k存在；
则k=2ax₁=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∴x₁=2x₂-2；
∴${e^{x_2}}=4a{x_2}-4a$，
根据题意，此关于x₂的方程有解；
令h（x）=e^x-4ax+4a，
则h（x）有零点．
∵h′（x）=e^x-4a，
∴h（x）在（-∞，ln（4a）]上单调递减，在[ln（4a），+∞）上单调递增．
∵h（1）=e＞0，
∴h（x）有零点当且仅当$h{（x）_{min}}=h[ln（4a）]={e^{ln（4a）}}-4aln（4a）+4a≤0$，
解得$a≥\frac{e^2}{4}$，
即所求a的取值范围是$[\frac{e^2}{4}，+∞）$．

点评 本题考查导数的概念及应用，考查学生运算能力、思维能力和分析问题、解决问题的能力，属于难题．