Question

12．已知函数f（x）=x³-6x-1．
（1）求函数f（x）在x=2处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线的方程；
（2）令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意运用二次不等式的解法．

解答 解：（1）f（x）=x³-6x-1的导数为f′（x）=3x²-6，
即有函数f（x）在x=2处的切线斜率为k=f′（2）=12-6=6，
切点为（2，-5），
则有函数f（x）在x=2处的切线方程为y-（-5）=6（x-2），
即为6x-y-17=0；
（2）令f′（x）＞0，则x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
令f′（x）＜0，则-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$．
则有f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
单调减区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查导数的几何意义和二次不等式的解法，属于基础题．