Question

2．如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA₁=OC=2OA=4，点M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）如果过A₁，B₁，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；
（Ⅱ）当M是棱CC₁中点时，求证：A₁O⊥DM；
（Ⅲ）设二面角A₁-BD-M的平面角为θ，当|cosθ|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$时，求CM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明l∥AB；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明A₁O⊥DM；
（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以A₁B₁BA是平行四边形．
所以A₁B₁∥AB．
因为A₁B₁?平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以A₁B₁∥平面ABCD．
因为平面A₁BO∩平面ABCD=l，
所以l∥A₁B₁．
所以l∥AB．
（Ⅱ）因为DB⊥AC于O，如图建立空间直角坐标系．
因为AA₁=4，且OC=2AO=4，

所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（-2，0，0），A₁（-2，0，4）．
因为M是棱CC₁中点，
所以M（4，0，2）．
设D（0，b，0），
所以$\overrightarrow{DM}$=（4，-b，2），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（-2，0，4）．
所以$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=-8+0+8=0．
所以A₁O⊥DM．
（Ⅲ）设D（0，b，0），B（0，c，0），平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又因为$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（2，b，-4）$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（2，c，-4）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+by-4z=0}\\{2x+cy-4z=0}\end{array}\right.$．
因为b≠c，
所以y=0，令z=1，
则x=2，所以$\overrightarrow{m}$=（2，0，1）．
设M（4，0，h），所以$\overrightarrow{MD}$=（-4，b，-h），$\overrightarrow{MB}=（-4，c，-h）$．
设平面MBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4x+by-hz=0}\\{-4x+cy-hz=0}\end{array}\right.$．
因为b≠c，所以y=0，令z=1，
则x=$-\frac{h}{4}$，所以$\overrightarrow{n}$=（$-\frac{h}{4}$，0，1）．
又因为|cosθ|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$，
即$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1-\frac{h}{2}|}{\sqrt{5}×\sqrt{\frac{{h}^{2}}{16}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
解得h=3或h=$\frac{7}{6}$．
所以点M（4，0，3）或M（4，0，$\frac{7}{6}$）．
所以CM=3或CM=$\frac{7}{6}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直以及线面垂直平行的性质定理的应用，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法．