Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，M、N分别是AC、BB₁的中点．
（1）求证：MN∥面A₁B₁C；
（2）求点M到平面A₁B₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）取A₁A的中点E，连接NE，ME，证明平面MNE∥面A₁B₁C，即可证明MN∥面A₁B₁C；
（2）利用等体积，即可求点M到平面A₁B₁C的距离．

解答 （1）证明：取A₁A的中点E，连接NE，ME，则NE∥A₁B₁，
∵NE?面A₁B₁C，A₁B₁?面A₁B₁C，
∴NE∥面A₁B₁C．
∵M是AC的中点，
∴ME∥A₁C，
∵ME?面A₁B₁C，A₁C?面A₁B₁C，
∴ME∥面A₁B₁C．
∵NE∩ME=E，
∴平面MNE∥面A₁B₁C．
∵MN?平面MNE，
∴MN∥面A₁B₁C；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°，B₁C=2$\sqrt{2}$，A₁A=2
又A₁B₁⊥平面B₁C，∴A₁B₁⊥B₁C，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$，
设点M到平面A₁B₁C的距离为h，由等体积可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面、面面平行的判定，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．