Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，D是线段BC的中点，△ABC和△PAD所在的平面互相垂直，PA⊥AD，AF⊥PB，AB=2，AC=4，AD=$\sqrt{3}$，∠BAC=120°．
（1）证明：PB⊥AD；
（2）若∠AFD的大小为45°，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合余弦定理证得AB⊥AD，再由已知PA⊥AD，利用线面垂直的判断得到AD⊥面PAB，从而得到PB⊥AD；
（2）由∠AFD的大小为45°，通过解直角三角形求得BF，再由三角形相似得PA，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥P-ABC的体积．

解答 （1）证明：如图，
∵AB=2，AC=4，∠BAC=120°，
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos120°}$=$\sqrt{20+8}=2\sqrt{7}$．
则BD=$\sqrt{7}$．
在△ABD中，由AB=2，AD=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{7}$，得AB²+AD²=BD²，
∴AB⊥AD，又PA⊥AD，PA∩AB=A，
∴AD⊥面PAB，而PB?面PAB，则PB⊥AD；
（2）解：∴AD⊥面PAB，∴∠DAF=90°，
又∠AFD的大小为45°，∴AF=AD=$\sqrt{3}$，
∵AF⊥PB，在Rt△AFB中，AB=2，AF=$\sqrt{3}$，∴BF=1，
由Rt△AFB∽Rt△PFA，得$\frac{2}{1}=\frac{PA}{\sqrt{3}}$，即PA=2$\sqrt{3}$．
∵△ABC和△PAD所在的平面互相垂直，面PAD∩面ABC=AD，且PA⊥AD，
∴PA⊥面ABC，
即PA为三棱锥P-ABC的高．
则${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB•AC•sin120°•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=4$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．