Question

20．求函数f（x）=x³-x+6在区间[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得函数的极值点，计算极值，求得端点处的函数值，比较即可得到最值．

解答 解：∵f'（x）=3x²-1，
由f'（x）=0得$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

x	-1	$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	6	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	6

由上表得：$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是函数f（x）的极大值点，$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是函数f（x）的极小值点．
比较$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$、$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$、x=-1和x=1的函数值f（-1）=6，f（1）=6，
$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=6+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，$f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=6-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$的大小可得：
函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值是$6+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，最小值是$6-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查二次不等式的解法，以及函数值大小的比较，属于基础题．