Question

9．如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2，F是DE的中点，H是AB上的一点，满足AH=3HB．
（1）求证：FH∥平面DBC；
（2）求二面角B-CE-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取EC的中点G，根据面面平行的性质定理证明平面FGH∥平面DBC，即可证明FH∥平面DBC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-CE-D的正弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点M，EC的中点G，连接FG，FH，GH，
∵AH=3HB．
∴H是BM的中点，
∵F是DE的中点，
∴FG∥DC，GH∥BC，
∵DC∩BC=C，
∴平面FGH∥平面DBC，
由FH?平面FGH，
∴FH∥平面DBC；
（2）取AE的中点N，连接DN，
∵平面ADE⊥平面ABCE，△ADE是等腰三角形，
∴DN⊥AE，
以E为坐标原点，以EA，EC，分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图，
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，0），A（2，-2，0），N（1，-1，0），D（1，-1，$\sqrt{2}$），
则平面BCE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面CED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{EC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{ED}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{x-y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=0，x=-$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{n}$=（=-$\sqrt{2}$，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{（-\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即二面角B-CE-D的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面垂直的性质，以及几二面角的度量等基础知识，考查利用空间向量的方程解决问题的能力，化归与转化思想，属于中档题．