Question

14．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$+1，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当m=e时，f（x）的解析式和导数，求得单调区间，即可得到极值和最值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，令g（x）=0，分离参数，可得m=x-$\frac{1}{3}$x³，再令h（x）=x-$\frac{1}{3}$x³，x＞0，求得导数和单调区间、最值，即可讨论m的取值，得到零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$+1的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）递增；
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）递减．
即有f（x）在x=e处取得极小值，也为最小值，且为3；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$=$\frac{3x-3m-{x}^{3}}{3{x}^{2}}$，x＞0
令g（x）=0，即有m=x-$\frac{1}{3}$x³，
再令h（x）=x-$\frac{1}{3}$x³，x＞0，
h′（x）=1-x²=（1-x）（1+x），
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）递减；
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．
即有h（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为$\frac{2}{3}$，
当x=0时，h（x）=0，
则有当m＞$\frac{2}{3}$时，g（x）无零点；
当m=$\frac{2}{3}$或m≤0时，g（x）有一个零点；
当0＜m＜$\frac{2}{3}$时，g（x）有两个零点．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的零点的求法，正确求导和构造函数是解题的关键．