Question

3．设函数f（x）=ax³+bx²+cx，在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，求f（x）表达式．

Answer 1

分析 先求导函数，再利用函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，可得方程组，从而可求a，b，c的值．

解答 解：由题可知f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（1）=0}\\{f（1）=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b+c=0}\\{3a+2b+c=0}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，解题的关键是正确运用极值条件，属于中档题．