Question

8．在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两张．
（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，利用古典概率计算公式即可得出；
（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），即可得出数学期望．
（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，可得P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），即可得出数学期望．

解答 解：（1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：

X•Y	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6
2	2		6	8	10	12
3	3	6		12	15	18
4	4	8	12		20	24
5	5	10	15	20		30
6	6	12	18	24	30

由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，∴取到的两张卡片上数字之积大于12的概率P=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$．
（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：

{X，Y}max	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	2	3	4	5	6
3	3	3	3	4	5	6
4	4	4	4	4	5	6
5	5	5	5	5	5	6
6	6	6	6	6	6	6

由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，则P（ξ=1）=$\frac{1}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{36}$，P（ξ=3）=$\frac{5}{36}$，P（ξ=4）=$\frac{7}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{9}{36}$，P（ξ=6）=$\frac{11}{36}$，
其数学期望为E（ξ）=1×$\frac{1}{36}$+2×$\frac{3}{36}$+3×$\frac{5}{36}$+4×$\frac{7}{36}$+5×$\frac{9}{36}$+6×$\frac{11}{36}$=$\frac{161}{36}$．
（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：

{X，Y}max（X表示列数字，Y表示横行数字）	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6
2	2		3	4	5	6
3	3	3		4	5	6
4	4	4	4		5	6
5	5	5	5	5		6
6	6	6	6	6	6

由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，则P（η=2）=$\frac{2}{30}$，P（η=3）=$\frac{4}{30}$，P（η=4）=$\frac{6}{30}$，P（η=5）=$\frac{8}{30}$，P（η=6）=$\frac{10}{30}$，
其数学期望为E（η）=2×$\frac{2}{30}$+3×$\frac{4}{30}$+4×$\frac{6}{30}$+5×$\frac{8}{30}$+6×$\frac{10}{30}$=$\frac{14}{3}$．
因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值不相等，其中E（ξ）＜E（η）．

点评 本题考查了古典概率计算公式、分布列及其数学期望、有放回与不放回抽取的区别，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．