Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在x∈[-3，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，解出即可．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．利用导数研究其在区间[-3，3]的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即$\left\{\begin{array}{l}3a+2b-3=0\\ 3a-2b-3=0.\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
∴f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值；
又f（3）=18，f（-3）=-18．
∴最大值与最小值分别为：f（3）=18，f（-3）=-18．

点评 本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．