Question

10．已知函数f（x）=（x-1）e^x+1，x∈[0，1]
（1）证明：f（x）≥0；
（2）若a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜b在x∈（0，1）恒成立，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，即可得出f（x）≥f（0）=0；
（2）令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值、最小值，即可得出a≤1，b≥e-1，即可得出结论．

解答 解：（1）f′（x）=xe^x≥0，
 即f（x）在[0，1]上单调递增．
所以f（x）≥f（0）=0，
即结论成立．
（2）令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，则g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$≥0，x∈（0，1），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=e-1，
要使a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜b在x∈（0，1）恒成立，只需b≥e-1，
$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞a成立，只需e^x-ax-1＞0在x∈（0，1）恒成立．
令h（x）=e^x-ax-1，x∈（0，1），
则h′（x）=e^x-a，由x∈（0，1），即e^x∈（1，e），
当a≤1时，h′（x）≥0 此时x∈（0，1），有h（x）＞h（0）=0成立．
所以a≤1满足条件．
当a≥e时，h′（x）≤0，此时x∈（0，1）有h（x）＜h（0）=0，
不符合题意，舍去．
当1＜a＜e时，令h′（x）=0，得x=lna，
可得当x∈（0，lna）时，h′（x）≤0．即x∈（0，lna）时，h（x）＜h（0）=0，
不符合题意舍去．
综上，a≤1，
又b≥e-1，即有b-a≥e-2．
所以b-a的最小值为e-2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，注意运用构造函数和不等式的性质是解题的关键．