Question

19．已知关于x的函数g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx，f（x）=x²+g（x），a＞0时，若f（x）有唯一零点x₀，试求x₀．

Answer 1

分析 a＞0时，由f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x₀＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x₁，由题意可知：x₁即为x₀．得到x₀²+$\frac{2}{{x}_{0}}$-alnx₀=0，2x₀³-ax₀-2=0，消去a，令t₁（x）=2lnx（x＞1），t₂（x）=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$（x＞0），分别研究单调性即可得出x₀的取值范围．

解答 解：∵a＞0时，f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，
∴x₀＞1．
又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x₁，
且x∈（1，x₁）时，函数f（x）单调递减，x∈（x₁，+∞）时，函数f（x）单调递增，
由题意可知：x₁即为x₀．
∴f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴x₀²+$\frac{2}{{x}_{0}}$-alnx₀=0，2x₀³-ax₀-2=0，消去a可得：2lnx₀=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$，
a＞0，令t₁（x）=2lnx（x＞1），t₂（x）=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$（x＞0），
则在区间（1，+∞）上t₁（x）单调递增，t₂（x）单调递减．
t₁（2）=2ln2＜2×0.7=$\frac{7}{5}$＜$\frac{10}{7}$=t₂（2），
t₁（3）=2ln3＞2＞1+$\frac{3}{26}$=t₂（3）．
∴2＜x₀＜3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分析问题与解决问题的方法，属于中档题．