Question

4．袋中有3个红球，4个白球．
（1）甲一次摸出3个球，求至少摸出1个红球的概率；
（2）甲依次摸出3个球（不放回），求第3次摸到红球的概率；
（3）甲依次摸出3个球（不放回），求第3次才摸到红球的概率；
（4）摸到3个球同色时，三个球均为红球的概率；
（5）甲有放回地摸球20次，摸出红球的次数为X，求E（X）和D（X）；
（6）从中取出3个球其中红球个数为X，指出X服从何分布并给出其分布列．

Answer 1

分析 （1）先求出对立事件摸出的都是白球的概率，再进行求解；
（2）第3次摸到红球的概率和第1次摸到红球的概率相同，所以很容易得出答案；
（3）第3次才摸到红球，即第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们同时发生，每一次的概率求出来相乘即可；
（4）先求出摸到3个球同色的概率，再求出三个球均为红球的概率，相除即可；
（5）由条件知X～B（20，p），根据公式E（X）=np和D（X）=np（1-p）求解即可；
（6）服从超几何分布，算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），分布列就能列出来．

解答 解：（1）至少摸出1个红球与摸出的都是白球是对立事件，都是白球的概率为$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，所以至少摸出1个红球的概率为1-$\frac{4}{35}$=$\frac{31}{35}$；
（2）第3次摸到红球的概率和第1次摸到红球的概率相同，为$\frac{3}{7}$；
（3）第3次才摸到红球，即第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们同时发生，
那么第一次摸到白球的概率为$\frac{4}{7}$，第二次摸到白球的概率为$\frac{4-1}{7-1}$=$\frac{1}{2}$，第三次摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$，
所以求第3次才摸到红球的概率为$\frac{4}{7}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{35}$；
（4）摸到3个球同色的概率为$\frac{{C}_{3}^{3}{+C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{7}$，三个球均为红球的概率为$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
则摸到3个球同色时，三个球均为红球的概率$\frac{\frac{1}{35}}{\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{5}$
（5）第一次摸出红球的概率为$\frac{3}{7}$，由条件知X～B（20，p），所以E（X）=$\frac{3}{7}$×20=$\frac{60}{7}$，D（X）=20×$\frac{3}{7}$×（1-$\frac{3}{7}$）=$\frac{240}{49}$；
（6）服从超几何分布，P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}×{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}×{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

点评 本题考查了古典概型的概率求解问题，离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．属于中档题．