Question

16．已知函数f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2cos²ωx-1（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（3）若f（a）=$\frac{1}{3}$，求sin（$\frac{7π}{6}$-4a）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，先化简f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2cos²ωx-1，得到f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），再直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$，得出周期，由周期公式求出ω的值；
（2）求出-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，借助正弦函数求出-$\frac{1}{2}$≤f（x）≤1．
（3）由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
得f（a）=sin（2a+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，再由诱导公式及二倍角公式化简sin（$\frac{7π}{6}$-4a）=
2sin²（2a+$\frac{π}{6}$）-1，然后代入数据即可．

解答 解：（1）f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2cos²ωx-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
又直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$，可得周期T=π
又T=$\frac{2π}{2ω}$，即$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）≤1．
即函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．
（3）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（a）=sin（2a+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$
∴sin（$\frac{7π}{6}$-4a）=sin（4a-$\frac{π}{6}$）=sin（4a+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=-cos（4a+$\frac{π}{3}$）=2sin²（2a+$\frac{π}{6}$）-1=2×$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查三角恒等变换的应用及三角函数的最值，解三角方程，周期公式，熟练掌握三角函数的性质及变换公式是解题的关键．