Question

6．已知函数f（x）=x³-ax²-3x，g（x）=-6x（a∈R）．
（Ⅰ）若x=3是d的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）时是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出函数f（x）的导数，由题意得f′（3）=0，解方程可得a=4，求得[1，4]上函数f（x）的单调区间，即可得到最值；
（II）求得h（x）的解析式和导数，由题意得，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，由参数分离和基本不等式，即可得到a的范围．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2ax-3，
由题意得f′（3）=0，即27-6a-3=0，
解得a=4，
f′（x）=3x²-8x-3=3（x-3）（x+$\frac{1}{3}$），
当x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
即有f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6，最小值为f（3）=-18；       
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax²+3x，
由题意得，h′（x）=3x²-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即$a≤\frac{3}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$在（0，+∞）恒成立，
而${（{x+\frac{1}{x}}）_{min}}=2$，
所以a≤3．
则实数a的取值范围为（-∞，3]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．