Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，求a的值
（2）试判断函数f（x）在区间（3，5）上的单调性
（3）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（e=2.71828…是自然底数的对数）

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得斜率为1，解方程可得a=1；
（2）求出导数，由a＞0，和区间（3，5），即可判断函数的单调性；
（3）求出g（x）的导数，对a讨论，分别讨论函数g（x）在[1，e]上的单调性，即可得到最大值．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{ax（2-x）}{x^4}=\frac{a（2-x）}{x^3}$，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，切线斜率为1，
∴f'（1）=1，∴a=1；
（2）∵$f'（x）=\frac{a（2-x）}{x^3}$，
当x∈（3，5）时，$\frac{2-x}{x^3}＜0$，
又a＞0，所以∵$f'（x）=\frac{a（2-x）}{x^3}＜0$，
所以函数f（x）在区间（3，5）上单调递减；
（3）g（x）=xlnx-a（x-1），则g′（x）=lnx+1-a，
令g′（x）＞0，即lnx＞a-1，得x＞e^a-1，
令g′（x）＜0，即lnx＜a-1，
考虑到lnx的定义域为x＞0，得0＜x＜e^a-1，
所以，g（x）在区间（0，e^a-1）上为递减函数，
g（x）在区间（e^a-1，+∞）上为递增函数，
①当e^a-1≤1，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上为递增函数，
此时g（x）最大值为g（e）=e+a-ae；
②当e^a-1≥e，即a≥2时g（x）在区间[1，e]上为递减函数，
此时g（x）最大值为g（1）=0；
③当1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2时g（x）在区间[1，e^a-1]上为递减函数，
在区间[e^a-1，e]上为递增函数，此时g（x）的最大值为g（e）和g（1）中较大者，
∵g（e）-g（1）=a+e-ae，令g（e）-g（1）＞0，解得$a＜\frac{e}{e-1}$，
∵1＜a＜2∴当$1＜a＜\frac{e}{e-1}$时，g（x）最大值为g（e）=e+a-ae，
当$\frac{e}{e-1}≤a＜2$时，g（x）最大值为g（1）=0．
综上所述，当$0＜a＜\frac{e}{e-1}$时，g（x）最大值为g（e）=e+a-ae，
当$a≥\frac{e}{e-1}$时，g（x）的最大值为g（1）=0．

点评 本题考查函数与导数基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等思想方法，属于中档题．