Question

16．已知圆C：（x-3）²+（y-2）²=r²（r＞0）．
（1）若点P（4，-1）在圆C外，求r的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2被圆C截得的弦AB的长等于该圆的半径，求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，已知直线m：y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE．问△CDE的面积有没有最大值？若有最大值，求出直线m的方程；若没有最大值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点到圆心的距离大于半径构造r的不等式；
（2）转化为圆心到直线的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，列出r的方程求解即可；
（3）在圆的半径一定的前提下，只需∠DCE最大，此时该三角形为等腰直角三角形，然后可求出圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，据此利用点到直线的距离公式可求出n的值．

解答 解：（1）点P到圆心（3，2）的距离$d=\sqrt{（4-3）^{2}+（-1-2）^{2}}=\sqrt{10}$．
所以若点P在圆外，只需r＜d，即$0＜r＜\sqrt{10}$．
（2）若弦长等于半径，则△ABC为等边三角形，则圆心（3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}r$．
所以$\frac{|3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，解得r=$\sqrt{6}$．
故圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=6．
（3）由（2）知圆C：（x-3）²+（y-2）²=6．
由题意y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE的面积
S=$\frac{1}{2}{r}^{2}sin∠DCE$=3sin∠DCE，当$∠DCE=\frac{π}{2}$时，S_max=3．
此时圆心到直线m：x-y+n=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\sqrt{3}$，
所以$\frac{|3-2+n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，解得$n=-1±\sqrt{6}$．
所以直线m的方程为$x-y-1+\sqrt{6}=0$或$x-y-1-\sqrt{6}=0$．．

点评 直线与圆的位置关系问题，一般最终转化为圆心到直线的距离的问题来解．