Question

4．如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点P离地面0.5m，风车所在圆C的圆周上一点A从最低点P开始，运动t秒后与地面的距离为h米．
（1）求圆C的方程；
（2）求h=f（t）的关系式；
（3）当1≤t≤8时，求h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求圆C的方程，主要是找到圆心位置和半径；
（2）由于大风车每12s旋转一周，所以每秒转$\frac{π}{6}$弧度，则t秒转$\frac{π}{6}t$弧度，进而求出h=f（t）的关系式；
（3）当1≤t≤8时$\frac{4}{3}π$，则-1≤cos$\frac{π}{6}$t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以2.5-$\sqrt{3}$≤h≤4.5

解答 解：（1）由图可知，圆心C（0，1.5），r=2
所以圆的方程为${x^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=4$
（2）如图，由于大风车每12s旋转一周，所以每秒转$\frac{π}{6}$弧度，则t秒转$\frac{π}{6}t$弧度，
所以h=2.5-2cos$\frac{π}{6}t$
（3）当1≤t≤8时，$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$t≤$\frac{4}{3}π$，
则-1≤cos$\frac{π}{6}$t≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以2.5-$\sqrt{3}$≤h≤4.5
故答案为：：（1）${x^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=4$
（2）h=2.5-2cos$\frac{π}{6}t$
（3）2.5-$\sqrt{3}$≤h≤4.5

点评 本题考查了在实际问题中建立三角函数模型，属于中档题．