Question

19．若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”
（1）请分析判断函数f（x）=x-4，g（x）=-x²+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由
（2）若函数h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据“弱增函数”的定义，判断f（x）、g（x）在（1，2）上是否满足条件即可；
（2）根据“弱增函数”的定义，得出①h（x）在（0，1）上是增函数，$\frac{h（x）}{x}$在（0，1）上是减函数，列出不等式组，求出b与θ的取值范围．

解答 解：（1）由于f（x）=x-4在（1，2）上是增函数，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=1-$\frac{4}{x}$在（1，2）上也是增函数，
所以f（x）=x-4在（1，2）上不是“弱增函数”…（2分）
g（x）=-x²+4x在（1，2）上是增函数，但$\frac{g（x）}{x}$=-x+4在（1，2）上是减函数，
所以g（x）=-x²+4x在（1，2）上是“弱增函数”…（4分）
（2）设h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b（θ、b是常数）在（0，1）上是“弱增函数”，
则①h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b在（0，1）上是增函数，
由h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b在（0，1）上是增函数得$\frac{sinθ-\frac{1}{2}}{2}$≤0，…（6分）
∴sinθ≤$\frac{1}{2}$，θ∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；   …（8分）
②H（x）=$\frac{h（x）}{x}$=x-$\frac{b}{x}$+$\frac{1}{2}$-sinθ在（0，1）上是减函数，
记G（x）=x-$\frac{b}{x}$，在（0，1）上任取0＜x₁＜x₂≤1，
则G（x₁）-G（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$（x₁x₂+b）＞0恒成立，…（11分）
又∵$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，∴x₁x₂+b＜0恒成立，
而当0＜x₁＜x₂≤1时，0＜x₁x₂＜1，∴b≤-1；
（如果直接利用双沟函数的结论扣2分）
∴b≤-1；
且θ∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）时，h （x）在（0，1]上是“弱增函数”．…（14分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与导数的应用问题，考查了新定义的应用问题，考查了分析与解决问题的能力，是综合性题目．