Question

11．已知：过点（1，$\frac{3}{2}$）且离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左，右顶点坐标分别为A，B，若有一点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与其右准线分别交于点M，N，若点H为AP的中点，
求：当点P运动时，直线AP与直线OH的斜率之积是否为定值，若是定值求出该定值，若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析 由已知求出椭圆方程，得到A的坐标，设出动点P的坐标，由中点坐标公式求出H坐标，然后写出两直线斜率的乘积，结合P在椭圆上可得直线AP与直线OH的斜率之积是定值．

解答 解：由点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 上，且离心率为$\frac{1}{2}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=4，b²=3．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
则A（-2，0），
设P（x₀，y₀），则AP中点为H（$\frac{{x}_{0}-2}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}$），
∴${k}_{AP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}，{k}_{OH}=\frac{\frac{{y}_{0}}{2}}{\frac{{x}_{0}-2}{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
则${k}_{AP}•{k}_{OH}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，${{x}_{0}}^{2}=4-\frac{4}{3}{{y}_{0}}^{2}$．
∴${k}_{AP}•{k}_{OH}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4-\frac{4}{3}{{y}_{0}}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$．
即当点P运动时，直线AP与直线OH的斜率之积是定值$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线的斜率，体现了整体运算思想方法，是中档题．