Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+{x^2}，x＜1\\ alnx，x≥1\end{array}$
（1）求f（x）在区间[-1，1）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

Answer 1

分析 （1）当-1≤x＜1时，求导函数，可得f（x）在区间[-1，1）上的最大值；
（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+{x^2}，x＜1\\ alnx，x≥1\end{array}\right.$
当-1≤x＜1时，$f'（x）=-3{x^2}+2x=-3x（x-\frac{2}{3}）$，…（1分）
令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{2}{3}$，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

	（-1，0）	0	$（0，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1）$
	-	0	+	0	-
	递减	极小值	递增	极大值	递减

…（3分）
又f（-1）=2，$f（\frac{2}{3}）=\frac{4}{27}$，f（0）=0
∴f（x）在区间[-1，1）上的最大值为2…（4分）
（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），显然t≠1．…（5分）
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即-t²+f（t）（t³+t²）=0．（1）
是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．…（6分）
若0＜t＜1，则f（t）=-t³+t²，代入（1）式得，-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，即t⁴-t²+1=0，
而此方程无实数解，因此t＞1．…（8分）
∴f（t）=alnt，代入（1）式得，-t²+（alnt）（t³+t²）=0，即$\frac{1}{a}=（t+1）lnt$． （*）…（9分）
考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则$h'（x）=lnx+\frac{1}{x}+1＞0$，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，
当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．…（11分）
∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．
因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，综合性强，属于中档题．